Абдула Бугаев родился 1 января 1949 года в селе Успенка Булаевского района Северо-Казахстанской области Казахской ССР. Зимой 1955 г. семья Бугаевых переехала в г. Караганду. К тому времени участники Великой Отечественной войны (отец Махмуд воевал) имели право на перемещение в пределах страны, за исключением региона проживания до выселения. 1 сентября 1956 г. Абдула пошёл в первый класс одной из средних школ г. Караганды. Учёбу прервал в связи с выездом семьи в восстанавливаемую республику – Чечено-Ингушскую АССР. Учёбу продолжил в Горячеисточненской средней школе, куда был принят во второй класс с двухнедельным испытательным сроком.

В 1964 г., окончив восьмилетнюю школу ст. Горячеисточненской, А. Бугаев поступил в только что открывшийся Грозненский кооперативный техникум, который окончил с отличием в 1967 г. В 1967 – 1969 гг. он работал в системе потребительской кооперации Чечено-Ингушской АССР,  а в 1969 поступил на исторический факультет Чечено-Ингушского государственного педагогического института.

В 1972 году ЧИГПИ был преобразован в Чечено-Ингушский государственный университет. В 70-е годы на историческом факультете Чечено-Ингушского государственного университета, благодаря целенаправленной работе его декана А.И. Хасбулатова, сформировалась молодая плеяда учёных-преподавателей. Среди них был и Абдула Махмудович Бугаев. Он в 1973 году после завершения обучения (с отличием) в Чечено-Ингушском государственном университете, был направлен в целевую аспирантуру Института истории СССР АН СССР. С мая 1974 г. по май 1975 г. проходил срочную службу в рядах Вооруженных Сил СССР. С июня 1975 по декабрь 1977 г. он продолжил учёбу в аспирантуре в том же институте. Здесь он получил фундаментальную академическую подготовку. Его научными руководителями были выдающиеся советские ученые: доктор исторических наук, профессор Генкина Эсфирь Борисовна и член-корреспондент АН СССР (с 1997 г. – академик Российской академии наук), доктор исторических наук, профессор Поляков Юрий Александрович.

Выбор научной темы принципиально важен для любого исследователя. А.М. Бугаев, изначально планировавший заниматься исследованием истории Чечено-Ингушетии периода Великой Отечественной войны, руководствуясь мудрыми советами своих наставников, выбрал тему «Развитие Чечено-Ингушетии - как советской автономии. 1957-1978 гг.», посвященную историческому анализу проблем восстановления национальной автономии чеченского и ингушского народов. Он проявил себя настоящим ученым-исследователем, твердым сторонником объективного и правдивого освещения истории. Им проделана колоссальная работа по сбору и систематизации архивного материала. Следы его целеустремленных плодотворных поисков несложно обнаружить в Российском государственном архиве социальнополитической истории (РГАСПИ), Российском государственном архиве новейшей истории (РГАНИ), Государственном архиве Российской Федерации (ГАРФ), Российском государственном военном архиве (РГВА), Центральном архиве Министерства обороны РФ (ЦАМО РФ), Центральном государственном архиве литературы и искусства (ЦГАЛИ), Центральном государственном архиве кинофотодокументов, в архиве Федеральной Службы Безопасности. Найти нужные материалы, проанализировать, сопоставить – это тяжкий труд, который легко понятен любому, который сам наглотался архивной пыли. И этот титанический труд был проделан А.М. Бугаевым. Характеризуя жизненную позицию Абдулы Махмудовича, можно с уверенностью сказать о нем замечательными словами А.С. Пушкина: «…Я далеко не восторгаюсь всем, что вижу вокруг себя…, но клянусь честью, что ни за что на свете я не хотел бы переменить отечество или иметь другую историю, кроме истории наших предков, такой, какой Бог нам дал ее».

Вся жизнь и деятельность Абдулы Махмудовича - верного сына своего народа, замечательного ученого - говорит о том, что он неизменно и твердо следует этому завету великого поэта. Трудолюбие, скрупулёзность его исследований проявляются в работах, опубликованных в отечественных и зарубежных изданиях. Они получают высокую оценку научной общественности. Каждый его труд заключает в себе огромный корпус документов, впервые вводимых в научный оборот, глубоким и обстоятельным теоретическим их осмыслением. Научные интересы А.М. Бугаева разнообразны, но непременно связаны с кавказской тематикой. В своих научных изысканиях ученый затрагивает проблемы национально-государственного строительства в Чечне (20-30 гг. ХХ в.), образования автономий горских народов Северного Кавказа, становления партийной организации Чечни. Труды Абдуллы Махмудовича всегда узнаваемы своей основательностью, безукоризненной логикой и прочностью источниковедческого фундамента. Но не вспомнить при этом, что он, как истинный гражданин своей страны, никогда не признает «чистую» науку, т.е. науку ради самой науки, значит, не дорисовать портрет исследователя-профессионала. По его убеждению, объективно изученная и осмысленная история народов может и должна поставить на службу живущим, накопленный веками жизненный опыт, ратную и трудовую героику их предков. Такое понимание роли истории в судьбах современных и грядущих поколений имеет особый смысл для многонационального кавказского региона. Абдула Бугаев глубоко сознает, что нормальная жизнь в нашем крае, где сплелись судьбы сотен народов и этнических групп, невозможна без дружбы и взаимопонимания; что любые, самые сложные проблемы, возникающие между соседними народами, не только нужно, но и должно решать только мирными путями, как это веками делали наши мудрые предки. К его авторитетному слову прислушиваются не только ученые-историки Чеченской Республики, но и всего Кавказа. Абдула Махмудович привлекает своей рассудительностью, основательностью, тонким юмором; он, несмотря на любые обстоятельства, всегда умело владеет собой, и кажется, что его невозможно вывести из себя. Характерные черты Абдулы Махмудовича как исследователя – умение профессионально отобрать, обобщить и подать материал, стремление вскрыть причины исторических событий и их закономерности, рассматривать явления общественной жизни в их взаимосвязи и взаимообусловленности. Он стремится показать исторический процесс во всем его многообразии и на основе изучения различных источников создать правдивую картину истории Чечни и народов Северного Кавказа.